№16. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 10. Найдите ВС, если АС = 16.

Решение:

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности. Следовательно, сторона \( AB \) — диаметр окружности.

Так как радиус окружности равен 10, то диаметр \( AB = 2 \cdot 10 = 20 \).

Поскольку центр окружности лежит на стороне \( AB \), то угол \( \angle ACB \), опирающийся на диаметр, является прямым (равен 90°).

Таким образом, \( \triangle ABC \) — прямоугольный треугольник с гипотенузой \( AB \).

По теореме Пифагора для \( \triangle ABC \):

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

Нам дано \( AC = 16 \) и \( AB = 20 \). Найдём \( BC \):

\[ 16^2 + BC^2 = 20^2 \]

\[ 256 + BC^2 = 400 \]

\[ BC^2 = 400 - 256 \]

\[ BC^2 = 144 \]

\[ BC = \sqrt{144} = 12 \]

Ответ: 12.