16. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АС = 8.

Решение:

Так как центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB является диаметром окружности. Это возможно, если треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом при вершине C.

Диаметр окружности \( d = 2 \cdot R \), где \( R \) — радиус.

\( d = 2 \cdot 8.5 = 17 \). Значит, \( AB = 17 \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза AB = 17, а катет AC = 8.

По теореме Пифагора найдём катет BC:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
\[ 17^2 = 8^2 + BC^2 \]
\[ 289 = 64 + BC^2 \]

Выразим \( BC^2 \):

\[ BC^2 = 289 - 64 \]
\[ BC^2 = 225 \]

Извлечем квадратный корень:

\[ BC = \sqrt{225} \]
\[ BC = 15 \]

Ответ: 15