16. В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \). Найдите сторону треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с центром описанной окружности (центр О) и является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Радиус вписанной окружности \( r \) равен расстоянию от центра О до сторон треугольника, то есть \( r = \frac{3\sqrt{3}}{2} \).

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной \( a \) формулой: \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \).

Выразим сторону \( a \):

\[ a = 2\sqrt{3} \cdot r \]

Подставим значение \( r \):

\[ a = 2\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 3 \cdot 3 = 9 \]

Ответ: 9.