16. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Если один угол равен 45°, то второй острый угол также равен \( 90° - 45° = 45° \).

Следовательно, треугольник является равнобедренным, и его катеты равны.

Пусть катеты равны \( a \) и \( b \), а гипотенуза \( c = 10 \).

1. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \). Поскольку \( a = b \), имеем: \( 2a^2 = 10^2 \)
2. \( 2a^2 = 100 \)
3. \( a^2 = 50 \)
4. \( a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).
6. Так как \( a = b \), то \( S = \frac{1}{2}a^2 \).
7. \( S = \frac{1}{2} · 50 \)
8. \( S = 25 \)

Ответ: 25.