16. В прямоугольном треугольнике MNE (∠E = 90°) окружность с центром O касается сторон треугольника в точках. На стороне MN отрезки от M до точки касания и от точки касания до N равны 8 и 12 соответственно. Окружность касается ME в K. Найти OK.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Поэтому от M до точки касания на ME расстояние равно 8, а от N до точки касания на NE — 12. Обозначим радиус окружности через \(r=OK\).

Тогда \(ME=8+r\), \(NE=12+r\), а \(MN=8+12=20\). По теореме Пифагора:

\((8+r)^2+(12+r)^2=20^2\).

После раскрытия скобок: \(r^2+20r-96=0\), откуда \(r=4\) или \(r=-24\). Радиус положителен, значит, \(r=4\).

Ответ: \(OK=4\).