16. В угол С величиной \(112^\circ\) вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник АОВС. Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\). Так как окружность вписана, то касательные, проведённые из точки С к окружности, равны. Отрезки ОА и ОВ являются радиусами и перпендикулярны касательным в точках касания, то есть \(\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ\).

Следовательно, \(\angle AOB = 360^\circ - \angle C - \angle OAC - \angle OBC = 360^\circ - 112^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 68^\circ\).

Ответ: 68