16. В угол С величиной 77° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник AСBО. Мы знаем, что:

• ∠ C = 77° (по условию).
• OA и OB — радиусы окружности, проведенные к точкам касания. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ OAC = 90° и ∠ OBC = 90°.

Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°.

Таким образом, в четырехугольнике ACBO:

∠ C + ∠ OAC + ∠ OBC + ∠ AOB = 360°

77° + 90° + 90° + ∠ AOB = 360°

257° + ∠ AOB = 360°

∠ AOB = 360° - 257°

∠ AOB = 103°

Ответ: 103