160. Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B; б) каждая точка, равноудалённая от точек A и B, лежит на прямой a.

Обозначим середину отрезка AB через M.

а) Возьмём произвольную точку P на прямой a. Так как a ⟂ AB, углы PMA и PMB прямые; AM = BM, а PM — общая сторона. Значит, прямоугольные треугольники PMA и PMB равны по двум катетам. Поэтому PA = PB.

б) Пусть PA = PB. Если P не совпадает с M, треугольник PAB равнобедренный с основанием AB. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому прямая PM перпендикулярна AB. Следовательно, P лежит на прямой, проходящей через M перпендикулярно AB, то есть на a. Если P = M, то P также лежит на a.

Что и требовалось доказать.