161. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ медианы AM и A₁M₁ равны, BC = B₁C₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Так как AM и A₁M₁ — медианы, M и M₁ являются серединами BC и B₁C₁. Из BC = B₁C₁ следует BM = B₁M₁.

1. В треугольниках AMB и A₁M₁B₁ равны AM = A₁M₁, BM = B₁M₁ и углы между ними ∠AMB = ∠A₁M₁B₁. Поэтому треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AB = A₁B₁.
2. Поскольку M и M₁ — середины оснований, ∠AMC и ∠A₁M₁C₁ — смежные с равными углами ∠AMB и ∠A₁M₁B₁; значит, они равны. Кроме того, MC = M₁C₁ и AM = A₁M₁. Поэтому △AMC = △A₁M₁C₁ по двум сторонам и углу между ними, откуда AC = A₁C₁.
3. Имеем AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁. Следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁ по трём сторонам.

Что и требовалось доказать.