Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 159
Доказательство:
Пусть у нас есть два равнобедренных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).
Дано:
- \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \) (боковые стороны), \( \angle BAC = \angle BCA \) (углы при основании), \( \angle ABC \) — угол при вершине (противолежащий основанию \( AC \)).
- \( \triangle A_1B_1C_1 \) — равнобедренный, \( A_1B_1 = B_1C_1 \) (боковые стороны), \( \angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1 \) (углы при основании), \( \angle A_1B_1C_1 \) — угол при вершине (противолежащий основанию \( A_1C_1 \)).
- Условие равенства:
- Боковая сторона первого треугольника равна боковой стороне второго: \( AB = A_1B_1 \).
- Угол, противолежащий основанию (угол при вершине), первого треугольника равен соответствующему углу второго: \( \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \).
Нужно доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).
Доказательство:
- Рассмотрим два данных равнобедренных треугольника.
- По условию, у них равны боковые стороны: \( AB = A_1B_1 \).
- Также по условию, у них равны углы при вершине: \( \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \).
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \), то углы при основании можно найти, вычитая угол при вершине из \( 180^\circ \) и деля на 2.
- Следовательно, углы при основании также будут равны:
- \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} \).
- \( \angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1 = \frac{180^\circ - \angle A_1B_1C_1}{2} \).
- Так как \( \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \), то и \( \angle BAC = \angle BCA = \angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1 \).
- Теперь у нас есть два треугольника, у которых равны:
- Боковая сторона \( AB = A_1B_1 \).
- Угол между этой стороной и основанием \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \).
- Угол при вершине \( \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \).
- По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).
Вывод: Таким образом, по второму признаку равенства треугольников, если у двух равнобедренных треугольников равны боковые стороны и углы при вершине, то и сами треугольники равны.
