164. На рисунке 62 прямая BC касается окружности с центром O в точке B. Найдите ∠AOB, если ∠ABC = 63°.

Решение:

Прямая BC касается окружности в точке B. Следовательно, радиус OB перпендикулярен касательной BC. Это означает, что \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

По условию, \( \angle ABC = 63^{\circ} \).

Угол ∠AOB является центральным углом, который опирается на дугу AB. Угол ∠ACB — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB.

По рисунку, точка A находится на окружности, и луч OA проходит через центр O. Точка C находится вне окружности.

В треугольнике ABC, \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).

Из \( \angle OBC = 90^{\circ} \) и \( \angle ABC = 63^{\circ} \), мы можем найти \( \angle OBA \) или \( \angle OAC \).

Важно: луч OA не является касательной. Точка A — на окружности.

Мы знаем, что \( \angle OBC = 90^{\circ} \). Это угол между радиусом OB и касательной BC.

В \( \triangle ABC \), \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).

Обратим внимание на рисунок: луч OA проходит через точку C. Это означает, что A, O, C — лежат на одной прямой. Но A — точка на окружности, O — центр. Это может означать, что AC — это прямая, проходящая через центр, то есть AC — диаметр. Но это противоречит условию, что BC — касательная в точке B.

Предполагаем, что A — точка на окружности, а C — точка на касательной.

У нас есть:

1. BC — касательная к окружности в точке B.
2. OB — радиус, OB ⊥ BC, значит \( \angle OBC = 90^{\circ} \).
3. \( \angle ABC = 63^{\circ} \).
4. A — точка на окружности.
5. O — центр окружности.

Мы хотим найти \( \angle AOB \).

Из \( \angle OBC = 90^{\circ} \) и \( \angle ABC = 63^{\circ} \), мы можем сказать, что \( \angle OBA = \angle OBC - \angle ABC = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle OAB \). OA и OB — радиусы окружности, поэтому \( \triangle OAB \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle OAB = \angle OBA = 27^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle OAB \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (27^{\circ} + 27^{\circ}) = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).

Ответ: 126°.