16x^2 - x/|x| = 0

Решение:

Данное уравнение содержит переменную в знаменателе и абсолютное значение, поэтому необходимо учесть область допустимых значений и свойства модуля.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, \( |x| \neq 0 \), что означает \( x \neq 0 \).

2. Раскрытие модуля:

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x > 0 \). Тогда \( |x| = x \).

Уравнение примет вид: \( 16x^2 - \frac{x}{x} = 0 \)

\( 16x^2 - 1 = 0 \)

\( 16x^2 = 1 \)

\( x^2 = \frac{1}{16} \)

\( x = \pm\sqrt{\frac{1}{16}} \)

\( x = \pm\frac{1}{4} \)

Поскольку мы рассматриваем случай \( x > 0 \), то подходит только \( x = \frac{1}{4} \).

Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \).

Уравнение примет вид: \( 16x^2 - \frac{x}{-x} = 0 \)

\( 16x^2 - (-1) = 0 \)

\( 16x^2 + 1 = 0 \)

\( 16x^2 = -1 \)

\( x^2 = -\frac{1}{16} \)

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

3. Проверка корней:

Единственный найденный корень \( x = \frac{1}{4} \) удовлетворяет ОДЗ (\( x \neq 0 \)).

Ответ: x = 1/4.