|x^2 - 2x + 1| = |3-x|

Решение:

Данное уравнение представляет собой равенство двух модулей. Оно может быть решено двумя способами: путем возведения обеих частей в квадрат или путем рассмотрения двух случаев.

Способ 1: Возведение в квадрат

Если \( |a| = |b| \), то \( a^2 = b^2 \).

Левая часть уравнения \( x^2 - 2x + 1 \) является полным квадратом: \( (x-1)^2 \).

Уравнение примет вид:

\[ |(x-1)^2| = |3-x| \]

Так как \( (x-1)^2 \) всегда неотрицательно, то \( |(x-1)^2| = (x-1)^2 \).

\[ (x-1)^2 = (3-x)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 2x + 1 = 9 - 6x + x^2 \]

Вычтем \( x^2 \) из обеих частей:

\[ -2x + 1 = 9 - 6x \]

Перенесем члены с \( x \) в левую часть, а числа — в правую:

\[ -2x + 6x = 9 - 1 \]

\[ 4x = 8 \]

\[ x = \frac{8}{4} \]

\[ x = 2 \]

Способ 2: Рассмотрение двух случаев

Если \( |a| = |b| \), то либо \( a = b \), либо \( a = -b \).

Случай 1: \( x^2 - 2x + 1 = 3 - x \)

\[ x^2 - 2x + x + 1 - 3 = 0 \]

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9 \).

\[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

Случай 2: \( x^2 - 2x + 1 = -(3 - x) \)

\[ x^2 - 2x + 1 = -3 + x \]

\[ x^2 - 2x - x + 1 + 3 = 0 \]

\[ x^2 - 3x + 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 · 1 · 4 = 9 - 16 = -7 \).

Поскольку \( D < 0 \), это уравнение не имеет действительных корней.

Объединение результатов:

Объединяя результаты обоих способов, получаем, что единственным решением является \( x = 2 \).

Ответ: x = 2.