x^2 + 2|x| - 8 = 0

Решение:

Данное уравнение содержит переменную в квадрате и абсолютное значение. Для его решения используем замену переменной.

1. Замена переменной:

Пусть \( y = |x| \). Поскольку \( |x| \ge 0 \), то \( y \ge 0 \). Тогда \( x^2 = |x|^2 = y^2 \).

Уравнение примет вид:

\[ y^2 + 2y - 8 = 0 \]

2. Решение квадратного уравнения относительно y:

Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 · 1 · (-8) = 4 + 32 = 36 \).

Найдем корни \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

3. Возврат к исходной переменной x:

У нас есть два возможных значения для \( y = |x| \).

Случай 1: \( y = 2 \).

\[ |x| = 2 \]

Это означает, что \( x = 2 \) или \( x = -2 \).

Случай 2: \( y = -4 \).

\[ |x| = -4 \]

Это уравнение не имеет решений, так как абсолютное значение числа не может быть отрицательным.

4. Проверка корней:

Проверим найденные значения \( x = 2 \) и \( x = -2 \) в исходном уравнении:

Для \( x = 2 \): \( 2^2 + 2|2| - 8 = 4 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0 \). Верно.

Для \( x = -2 \): \( (-2)^2 + 2|-2| - 8 = 4 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0 \). Верно.

Ответ: x = 2, x = -2.