|x^2 + 4x + 4| = x

Решение:

Данное уравнение содержит абсолютное значение. Для его решения необходимо рассмотреть два случая, основываясь на знаке выражения под модулем, и учесть, что правая часть уравнения \( x \) должна быть неотрицательной.

1. Ограничение на правую часть:

Так как левая часть уравнения (модуль) всегда неотрицательна, то правая часть \( x \) также должна быть неотрицательной: \( x \ge 0 \).

2. Раскрытие модуля:

Выражение под модулем \( x^2 + 4x + 4 \) является полным квадратом: \( x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \).

Поскольку \( (x+2)^2 \) всегда неотрицательно, то \( |x^2 + 4x + 4| = |(x+2)^2| = (x+2)^2 \) при любом действительном \( x \).

Таким образом, уравнение примет вид:

\[ (x+2)^2 = x \]

3. Решение полученного уравнения:

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 4x + 4 = x \]

Перенесем все члены в левую часть:

\[ x^2 + 4x - x + 4 = 0 \]

\[ x^2 + 3x + 4 = 0 \]

4. Нахождение корней квадратного уравнения:

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 · 1 · 4 = 9 - 16 = -7 \]

Поскольку \( D < 0 \), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

5. Итоговый вывод:

Так как квадратное уравнение, полученное после раскрытия модуля, не имеет действительных корней, то исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.