17. (2 балла) Решите систему уравнений 3x - 2y = -1, 3^8x / 3^3y = 9.

Решение:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ \frac{3^{8x}}{3^{3y}} = 9 \end{cases} \]

1. Упростим второе уравнение:

Используем свойство степеней $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:

$$3^{8x - 3y} = 9$$.

Так как $$9 = 3^2$$, то:

$$3^{8x - 3y} = 3^2$$.

Приравниваем показатели степени:

$$8x - 3y = 2$$.

2. Теперь система имеет вид:

\[ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 8x - 3y = 2 \end{cases} \]

3. Решим систему методом подстановки или сложения. Используем метод сложения.

Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $$y$$ стали противоположными:

$$3 \times (3x - 2y) = 3 \times (-1) → 9x - 6y = -3$$.

$$-2 \times (8x - 3y) = -2 \times 2 → -16x + 6y = -4$$.

Сложим полученные уравнения:

$$(9x - 6y) + (-16x + 6y) = -3 + (-4)$$.

$$9x - 16x = -7$$.

$$-7x = -7$$.

$$x = 1$$.

4. Подставим значение $$x=1$$ в первое уравнение системы:

$$3(1) - 2y = -1$$.

$$3 - 2y = -1$$.

$$-2y = -1 - 3$$.

$$-2y = -4$$.

$$y = 2$$.

5. Проверим решение, подставив $$x=1$$ и $$y=2$$ во второе исходное уравнение:

$$\frac{3^{8 \times 1}}{3^{3 \times 2}} = \frac{3^8}{3^6} = 3^{8-6} = 3^2 = 9$$. Условие выполняется.

Ответ: $$x=1, y=2$$