16. (2 балла) Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60°. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.

Решение:

1. Находим диагонали ромба:
2. Ромб с углом 60° состоит из двух равносторонних треугольников.
3. Диагональ, лежащая напротив угла 60°, равна стороне ромба: d₁ = 12 см.
4. Вторая диагональ (большая) находится по теореме Пифагора или как удвоенная высота равностороннего треугольника:
5. (d₂/2)² + (d₁/2)² = a² => (d₂/2)² + 6² = 12² => (d₂/2)² = 144 - 36 = 108.
6. d₂/2 = √108 = 6√3.
7. d₂ = 12√3 см.
8. Находим высоту призмы:
9. Меньшее диагональное сечение является квадратом. Диагональ ромба d₁ = 12 см.
10. Сторона квадрата (диагональное сечение) равна большей диагонали ромба d₂ = 12√3 см.
11. По условию, меньшее диагональное сечение - квадрат. Это означает, что сторона ромба и высота призмы равны.
12. Однако, если меньшее диагональное сечение является квадратом, то его сторона равна меньшей диагонали ромба (d1 = 12 см) и высоте призмы (h).
13. Тогда h = 12 см.
14. Находим площадь основания ( S_осн ):
15. Площадь ромба S_осн = (d₁ * d₂) / 2 = (12 * 12√3) / 2 = 72√3 см².
16. Находим объем призмы ( V ):
17. V = S_осн * h = 72√3 * 12 = 864√3 см³.

Ответ: 864√3