17. (3 балла) Докажите тождество: $$ \frac{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)} = -\text{ctg } \alpha $$

Решение:

Воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение:

\( \sin A - \sin B = 2 \sin \frac{A-B}{2} \cos \frac{A+B}{2} \)

\( \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A-B}{2} \sin \frac{A+B}{2} \)

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби:

• Числитель: \( \sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) = 2 \sin \frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} \cos \frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2} = 2 \sin \frac{2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha}{2} = 2 \sin \beta \cos \alpha \)
• Знаменатель: \( \cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta) = -2 \sin \frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} \sin \frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2} = -2 \sin \frac{2\beta}{2} \sin \frac{2\alpha}{2} = -2 \sin \beta \sin \alpha \)

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

\[ \frac{2 \sin \beta \cos \alpha}{-2 \sin \beta \sin \alpha} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\text{ctg } \alpha \]

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.