18. (3 балла) Найти наименьший положительный корень уравнения $$ \sqrt{2} \cos x = 1 $$. Ответ запишите в градусах.

Решение:

Решим уравнение \( \sqrt{2} \cos x = 1 \).

1. Выделим \( \cos x \): \( \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
2. Умножим на \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \) для получения стандартного вида: \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
3. Известно, что \( \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
4. Общее решение уравнения \( \cos x = \cos \alpha \) имеет вид \( x = \pm \alpha + 360^{\circ} n \), где \( n \) — целое число.
5. В нашем случае \( \alpha = 45^{\circ} \).
6. Получаем два случая:
• \( x = 45^{\circ} + 360^{\circ} n \)
• \( x = -45^{\circ} + 360^{\circ} n \)
7. Нам нужен наименьший положительный корень.
• Для первого случая, при \( n=0 \), получаем \( x = 45^{\circ} \).
• Для второго случая, при \( n=1 \), получаем \( x = -45^{\circ} + 360^{\circ} = 315^{\circ} \).
8. Наименьший положительный корень — \( 45^{\circ} \).

Ответ: 45.