20. (3 балла) Найдите площадь криволинейной трапеции.

Решение:

Криволинейная трапеция на рисунке ограничена графиком функции \( y = x^2 - 4x \) (уравнение переписано из \( y = -4x + x^2 \) для удобства) и осью \( Ox \).

Чтобы найти площадь, нужно определить пределы интегрирования, то есть точки пересечения графика функции с осью \( Ox \).

1. Приравняем функцию к нулю: \( x^2 - 4x = 0 \)
2. Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x - 4) = 0 \)
3. Находим корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).
4. Площадь криволинейной трапеции находится как определённый интеграл от функции по найденным пределам. Так как график расположен ниже оси \( Ox \) на этом интервале (значения \( y \) отрицательны), мы будем интегрировать \( -(x^2 - 4x) \) или возьмем модуль от интеграла \( x^2 - 4x \).
5. Рассчитаем площадь \( S \):
   \( S = \int_{0}^{4} |x^2 - 4x| dx \)
   Поскольку на интервале \( [0, 4] \) функция \( x^2 - 4x \) неположительна, то \( |x^2 - 4x| = -(x^2 - 4x) = 4x - x^2 \).
   \( S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx \)
6. Найдем первообразную:
   \( F(x) = \frac{4x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 2x^2 - \frac{x^3}{3} \)
7. Вычислим определённый интеграл:
   \( S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \)
   \( S = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^3}{3} \right) \)
   \( S = \left( 2(16) - \frac{64}{3} \right) - (0) \)
   \( S = 32 - \frac{64}{3} \)
   \( S = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3} \)
   \( S = \frac{96 - 64}{3} \)
   \( S = \frac{32}{3} \)

Ответ: \( \frac{32}{3} \).