19. (3 балла) Найдите точку минимума (Xmin) и минимум функции (ymin) y = x³ + x² - 5x - 10

Решение:

Для нахождения точки минимума функции \( y = x^3 + x^2 - 5x - 10 \) нам нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю и проанализировать знак производной.

1. Найдем первую производную функции \( y' \):
   \( y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 - 5x - 10) \)
   \( y' = 3x^2 + 2x - 5 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 3x^2 + 2x - 5 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:
   \( D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \)
4. Найдем корни:
   \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \)
   \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \)
5. Теперь определим, какая из этих точек является минимумом. Для этого проанализируем знак производной \( y' = 3x^2 + 2x - 5 \). Это парабола ветвями вверх, с корнями в \( x = -\frac{5}{3} \) и \( x = 1 \).
• На интервале \( (-\infty, -\frac{5}{3}) \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
• На интервале \( (-\frac{5}{3}, 1) \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• На интервале \( (1, \infty) \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
6. Следовательно, в точке \( x = -\frac{5}{3} \) функция имеет максимум, а в точке \( x = 1 \) — минимум.
7. \( X_{min} = 1 \).
8. Найдем значение минимума \( y_{min} \) подставив \( x=1 \) в исходную функцию:
   \( y_{min} = (1)^3 + (1)^2 - 5(1) - 10 \)
   \( y_{min} = 1 + 1 - 5 - 10 \)
   \( y_{min} = 2 - 15 \)
   \( y_{min} = -13 \)

Ответ: Точка минимума \( X_{min} = 1 \), минимум функции \( y_{min} = -13 \).