17. Через посёлки «Лесной» и «Нижний», расстояние между которыми 210 км, проходит прямолинейное шоссе. Из посёлков одновременно выехали грузовой автомобиль и автобус. Грузовой автомобиль едет со скоростью 52 км/ч, а авто- бус — со скоростью 82 км/ч. Какое расстояние будет между грузовым автомо- билем и автобусом через час? Найдите все возможные варианты.

Краткое пояснение:

Есть два возможных варианта движения: автомобиль и автобус движутся навстречу друг другу, или они движутся в одном направлении (в этом случае нужно рассмотреть два подварианта: либо оба движутся от «Лесного» к «Нижнему», либо оба движутся от «Нижнего» к «Лесному»). Расстояние между ними через час будет зависеть от их относительной скорости и начального положения.

Пошаговое решение:

Вариант 1: Движение навстречу друг другу

1. Шаг 1: Рассчитаем расстояние, которое проедет каждый из них за час.
   Грузовик: \( 52 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 52 \text{ км} \)
   Автобус: \( 82 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 82 \text{ км} \)
2. Шаг 2: Определим их относительную скорость, так как они движутся навстречу друг другу.
   \( 52 \text{ км/ч} + 82 \text{ км/ч} = 134 \text{ км/ч} \)
3. Шаг 3: Рассчитаем, какое расстояние будет между ними через час.
   Начальное расстояние - пройденное расстояние = оставшееся расстояние.
   \( 210 \text{ км} - 134 \text{ км} = 76 \text{ км} \)

Вариант 2: Движение в одном направлении

1. Шаг 1: Определим, кто из них движется быстрее. Автобус (82 км/ч) быстрее грузовика (52 км/ч).
2. Шаг 2: Рассчитаем их относительную скорость, когда они движутся в одном направлении.
   \( 82 \text{ км/ч} - 52 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч} \)
3. Шаг 3: Рассмотрим два случая:
   а) Оба движутся из «Лесного» к «Нижнему»:
   Автобус, двигаясь быстрее, будет удаляться от грузовика. Через час расстояние между ними будет:
   \( 30 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 30 \text{ км} \)
   б) Оба движутся из «Нижнего» к «Лесному»:
   Автобус, двигаясь быстрее, будет удаляться от грузовика (но в противоположном направлении от движения, если грузовик стартовал ближе к «Лесному»).
   В данном случае, нам нужно учесть начальное расстояние. Предположим, что они оба выехали из своих поселков и движутся в сторону друг друга, но один из них, например, автобус, оказался позади грузовика, а не наоборот.
   Если они оба движутся из «Лесного» в сторону «Нижнего», то автобус, будучи быстрее, окажется впереди грузовика. Через час расстояние между ними будет 30 км.
   Если они оба движутся из «Нижнего» в сторону «Лесного», то автобус, будучи быстрее, окажется впереди грузовика. Через час расстояние между ними будет 30 км.
4. Шаг 4: Рассмотрим случай, когда они движутся в одном направлении, но один из них начинает движение с другого конца шоссе.
   Если грузовик едет из «Лесного» к «Нижнему», а автобус из «Нижнего» к «Лесному», то это вариант движения навстречу друг другу (уже рассмотрен).
   Если они оба движутся, например, от «Лесного» к «Нижнему», то автобус (82 км/ч) будет впереди грузовика (52 км/ч). Через час автобус проедет 82 км, грузовик — 52 км. Расстояние между ними будет \( 82 - 52 = 30 \) км.
   Если они оба движутся от «Нижнего» к «Лесному», то автобус (82 км/ч) будет впереди грузовика (52 км/ч). Через час автобус проедет 82 км, грузовик — 52 км. Расстояние между ними будет \( 82 - 52 = 30 \) км.
5. Шаг 5: Теперь рассмотрим случаи, когда они движутся в одном направлении, и мы должны учитывать их начальное положение.
   Случай 2.1: Оба движутся из «Лесного» к «Нижнему».
   Через час автобус будет на расстоянии 82 км от «Лесного», а грузовик — на расстоянии 52 км от «Лесного». Расстояние между ними: \( 82 - 52 = 30 \text{ км} \).
   Случай 2.2: Оба движутся из «Нижнего» к «Лесному».
   Через час автобус будет на расстоянии 82 км от «Нижнего» (в направлении «Лесного»), а грузовик — на расстоянии 52 км от «Нижнего» (в направлении «Лесного»). Расстояние между ними: \( 82 - 52 = 30 \text{ км} \).
6. Шаг 6: Теперь рассмотрим случай, когда они движутся в одном направлении, но один из них начинает движение с другого конца, и мы должны учесть расстояние между посёлками.
   Случай 2.3: Грузовик едет из «Лесного» в сторону «Нижнего», а автобус едет из «Нижнего» в сторону «Лесного» (навстречу).
   Это уже рассмотрено как Вариант 1. Расстояние через час: 76 км.
   Случай 2.4: Автобус едет из «Лесного» в сторону «Нижнего», а грузовик едет из «Нижнего» в сторону «Лесного».
   Через час автобус будет на расстоянии 82 км от «Лесного». Грузовик будет на расстоянии 210 км (от «Лесного») - 52 км (проехано от «Нижнего») = 158 км от «Лесного».
   Расстояние между ними: \( 158 \text{ км} - 82 \text{ км} = 76 \text{ км} \).
   Случай 2.5: Грузовик едет из «Нижнего» в сторону «Лесного», а автобус едет из «Лесного» в сторону «Нижнего».
   Через час грузовик будет на расстоянии 52 км от «Нижнего». Автобус будет на расстоянии 82 км от «Лесного».
   Расстояние от «Лесного» до грузовика: \( 210 \text{ км} - 52 \text{ км} = 158 \text{ км} \).
   Расстояние между ними: \( 158 \text{ км} - 82 \text{ км} = 76 \text{ км} \).
7. Шаг 7: Рассмотрим случай, когда оба движутся в одном направлении, и автобус стартует из «Лесного», а грузовик из «Нижнего».
   Случай 2.6: Автобус из «Лесного» в сторону «Нижнего», грузовик из «Нижнего» в сторону «Лесного».
   Это случай движения навстречу.
   Случай 2.7: Автобус из «Лесного» в сторону «Нижнего», грузовик из «Нижнего» в сторону «Нижнего» (в том же направлении).
   Через час автобус будет на расстоянии 82 км от «Лесного». Грузовик будет на расстоянии \( 210 \text{ км} + 52 \text{ км} = 262 \text{ км} \) от «Лесного».
   Расстояние между ними: \( 262 - 82 = 180 \text{ км} \).
   Случай 2.8: Грузовик из «Нижнего» в сторону «Лесного», автобус из «Лесного» в сторону «Лесного».
   Через час грузовик будет на расстоянии 52 км от «Нижнего». Автобус будет на расстоянии 82 км от «Лесного».
   Расстояние от «Нижнего» до автобуса: \( 210 \text{ км} + 82 \text{ км} = 292 \text{ км} \).
   Расстояние между ними: \( 292 - 52 = 240 \text{ км} \).

Ответ: Возможны следующие варианты расстояния между ними через час: 76 км (при движении навстречу друг другу), 30 км (при движении в одном направлении, когда более быстрый объект догоняет более медленный), 180 км (когда автобус едет от «Лесного» к «Нижнему», а грузовик от «Нижнего» в том же направлении), 240 км (когда грузовик едет от «Нижнего» к «Лесному», а автобус от «Лесного» в том же направлении).