17. Дано: ABCD — параллелограмм, sin ∠ADB = 4/5, BD = 5, DC = √41. Найдите: S_ABCD.

В параллелограмме \(AB=DC=\sqrt{41}\). Обозначим \(AD=x\). Так как \(\sin\angle ADB=\frac45\), принимаем \(\cos\angle ADB=\frac35\) по рисунку.

По теореме косинусов в треугольнике ADB:

\[AB^2=AD^2+BD^2-2\cdot AD\cdot BD\cdot\cos\angle ADB,\]

\[41=x^2+25-2\cdot x\cdot5\cdot\frac35=x^2+25-6x.\]

\[x^2-6x-16=0,\qquad x=8.\]

Площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника ADB:

\[S_{ABCD}=2\cdot\frac12\cdot AD\cdot BD\cdot\sin\angle ADB=8\cdot5\cdot\frac45=32.\]

Ответ: \(32\).