18. Дано: ABCD — трапеция, AC = 8. По рисунку AB = CD, угол между диагоналями равен 45°. Найдите: S_ABCD.

Трапеция равнобедренная, поэтому её диагонали равны. Обозначим через \(p\) горизонтальную составляющую диагонали, а через \(h\) — высоту трапеции.

Из условия \(AC=8\):

\[p^2+h^2=64.\]

Угол между диагоналями равен \(45^\circ\), поэтому:

\[p^2-h^2=2ph.\]

Отсюда \(\dfrac{ph}{p^2+h^2}=\dfrac1{2\sqrt2}\). Площадь трапеции равна \(S=(a+b)h=ph\), следовательно:

\[S=64\cdot\frac1{2\sqrt2}=16\sqrt2.\]

Ответ: \(16\sqrt2\).