17. Диагональ прямоугольника образует угол 47° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Задание 17. Угол между диагоналями прямоугольника

Дано:

• Прямоугольник.
• Диагональ образует угол \( 47^{\circ} \) с одной из сторон.

Найти: Острый угол между диагоналями.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Угол между диагоналями — это угол \( \angle AOB \) или \( \angle BOC \).

Пусть диагональ AC образует угол \( 47^{\circ} \) со стороной AB. Тогда \( \angle BAC = 47^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. \( \angle ABC = 90^{\circ} \) (угол прямоугольника).
2. \( \angle BAC = 47^{\circ} \) (дано).
3. \( \angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 47^{\circ} = 43^{\circ} \).

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как \( AO = BO \). Углы при основании равны:

\[ \angle OAB = \angle OBA \]

Из условия, угол между диагональю и стороной равен \( 47^{\circ} \), то есть \( \angle BAC = 47^{\circ} \). Так как \( O \) лежит на AC, то \( \angle OAB = 47^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle OBA = 47^{\circ} \).

Угол \( \angle AOB \) — угол между диагоналями:

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) \]

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (47^{\circ} + 47^{\circ}) \]

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - 94^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 86^{\circ} \]

Угол \( \angle BOC \) — смежный с \( \angle AOB \), поэтому \( \angle BOC = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ} \).

Острый угол между диагоналями — это \( 86^{\circ} \).

Ответ: 86.