17. Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 20° и 80°. Сколько градусов составляет угол при меньшем основании трапеции?

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция \( ABCD \) с основаниями \( BC \) (меньшее) и \( AD \) (большее). Диагональ \( AC \) образует углы \( \angle BAC = 20° \) и \( \angle ACD = 80° \) с боковыми сторонами \( AB \) и \( CD \) соответственно.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Угол при меньшем основании \( BC \) — это \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). Сумма углов в нем равна \( 180° \). Мы знаем \( \angle BAC = 20° \).

В равнобедренной трапеции углы при боковых сторонах и диагонали, проведенной к основанию, равны. Угол между диагональю \( AC \) и боковой стороной \( AB \) равен \( 20° \). Угол между диагональю \( AC \) и боковой стороной \( CD \) равен \( 80° \).

Так как трапеция равнобедренная, то \( \angle CAD = \angle BCA \) (накрест лежащие углы при параллельных основаниях \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \)).

Также \( \angle BAC = \angle BCA = 20° \) (накрест лежащие углы при параллельных основаниях \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \)).

Итак, \( \angle BCA = 20° \).

Теперь рассмотрим угол при меньшем основании \( BC \), например \( \angle BCD \).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \)

\( \angle BCD = 20° + 80° = 100° \).

Так как трапеция равнобедренная, то угол при меньшем основании \( BC \) равен \( 100° \). Угол при большем основании \( AD \) будет \( \angle BAD = \angle CDA \).

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна \( 180° \). Следовательно, \( \angle ABC + \angle BCD = 180° \) (если \( AB \) — боковая сторона). Но \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \) — это углы при разных основаниях. Углы прилежащие к одной боковой стороне равны \( 180° \), т.е. \( \angle ABC + \angle BAD = 180° \) и \( \angle BCD + \angle CDA = 180° \).

Если \( \angle BCD = 100° \), то \( \angle CDA = 180° - 100° = 80° \).

Так как трапеция равнобедренная, \( \angle BAD = \angle CDA = 80° \).

\( \angle ABC \) = \( \angle BCD \) (углы при меньшем основании) = \( 100° \).

\( \angle BAD \) = \( \angle CDA \) (углы при большем основании) = \( 80° \).

Углы при основании \( AD \) равны \( 80° \). Углы при основании \( BC \) равны \( 100° \).

Проверим: \( 80° + 80° + 100° + 100° = 360° \).

Угол при меньшем основании — \( 100° \).

Ответ: 100°.