17. \(\frac{1}{3}\)\(\left(\frac{1}{2}z + 19\frac{1}{2}\right) = \left(2\frac{7}{9}z + 3\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{3}{5}\);

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби.
2. \( \frac{1}{3}\)\(\left(\frac{1}{2}z + \frac{39}{2}\right) = \left(\frac{25}{9}z + \frac{10}{3}\right) \cdot \frac{3}{5}\)
3. Раскроем скобки.
4. \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}z + \frac{1}{3} \cdot \frac{39}{2} = \frac{25}{9}z \cdot \frac{3}{5} + \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5} \)
5. \( \frac{1}{6}z + \frac{13}{2} = \frac{5}{3}z + 2 \)
6. Перенесём члены с \( z \) в правую часть, а константы — в левую.
7. \( \frac{13}{2} - 2 = \frac{5}{3}z - \frac{1}{6}z \)
8. \( \frac{13}{2} - \frac{4}{2} = \frac{10}{6}z - \frac{1}{6}z \)
9. \( \frac{9}{2} = \frac{9}{6}z \)
10. Упростим дробь \( \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \).
11. \( \frac{9}{2} = \frac{3}{2}z \)
12. Умножим обе части на \( \frac{2}{3} \).
13. \( \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{2}z \cdot \frac{2}{3} \)
14. \( 3 = z \)

Ответ: \( z = 3 \).