17. На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ДАОВ=18°. Длина меньшей дуги АВ равна 5. Найдите длину большей дуги АВ.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \( L = \frac{\pi R \alpha}{180} \), где \( R \) — радиус окружности, \( \alpha \) — центральный угол в градусах.

1. Найдём радиус окружности:

Для меньшей дуги \( AB \): \( L_{меньшая} = 5 \), \( \alpha = 18^{\circ} \).

\( 5 = \frac{\pi R \cdot 18}{180} \)

\( 5 = \frac{\pi R}{10} \)

\( R = \frac{50}{\pi} \)

2. Найдём длину большей дуги АВ:

Центральный угол, соответствующий большей дуге, равен \( 360^{\circ} - 18^{\circ} = 342^{\circ} \).

Длина большей дуги: \( L_{большая} = \frac{\pi R \alpha_{большая}}{180} \)

Подставим найденный радиус \( R = \frac{50}{\pi} \) и \( \alpha_{большая} = 342^{\circ} \):

\( L_{большая} = \frac{\pi \cdot \frac{50}{\pi} \cdot 342}{180} \)

\( L_{большая} = \frac{50 \cdot 342}{180} \)

\( L_{большая} = \frac{50 \cdot 19}{10} \)

\( L_{большая} = 5 \cdot 19 \)

\( L_{большая} = 95 \)

Альтернативный способ:

Общая длина окружности \( C = 2 \pi R \). Зная, что \( 5 = \frac{\pi R \cdot 18}{180} \), мы можем выразить \( \pi R \) как \( \pi R = \frac{5 × 180}{18} = 5 × 10 = 50 \).

Тогда полная длина окружности \( C = 2 × 50 = 100 \).

Длина большей дуги равна полной длине окружности минус длина меньшей дуги:

\( L_{большая} = C - L_{меньшая} = 100 - 5 = 95 \).

Ответ: 95