Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 17. Найдите угол ADC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы,…Фото задания

Ответ:

Эта задача по геометрии, будем разбираться с углами в трапеции.

Дано:

  • ABCD — равнобедренная трапеция.
  • Диагональ АС.
  • Угол ВСА = 30°.
  • Угол САВ = 50°.
  • Угол ВАС = 50°.

Найти: Угол ADC.

Решение:

  1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
    • Угол ВСА = 30°, значит, угол BDA = 30° (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).
    • Угол САВ = 50°, значит, угол ACD = 50° (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).
  2. Сумма углов в треугольнике ACD:
    • Угол CAD = Угол САВ = 50° (так как AB || CD).
    • Угол ADC = ?
    • Угол ACD = 50° (найден выше).
    • В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а диагонали равны.
    • Углы при основании равны. Угол BCD = Угол ABC.
  3. Рассмотрим треугольник ABC.
    • Угол BCA = 30°.
    • Угол CAB = 50°.
    • Угол ABC = 180° - (30° + 50°) = 180° - 80° = 100°.
  4. В равнобедренной трапеции углы при основании равны.
    • Угол BCD = Угол ABC = 100°.
    • Угол ADC = Угол BCD = 100° (это неверно, углы при основании равны, но при разных основаниях они разные).
  5. Найдем угол ADC.
    • Угол BCD = 100°.
    • Угол ACD = 50°.
    • Угол ADC = Угол BCD - Угол ACD = 100° - 50° = 50°.
    • Это тоже неверно.
  6. Давай разберемся еще раз:
    • Угол ВАС = 50°, значит, угол C D A = 50° (накрест лежащие при AB || CD и секущей AD).
    • Угол ВСА = 30°, значит, угол D AC = 30° (накрест лежащие при BC || AD и секущей AC).
    • Теперь в треугольнике ADC:
      • Угол DAC = 30°.
      • Угол ACD = 50° (найден выше, накрест лежащий при AB || CD).
      • Угол ADC = 180° - (30° + 50°) = 180° - 80° = 100°.
    • Проверим:
      • Угол ABC = 100°.
      • Угол BCD = 100°.
      • Угол ADC = 100°.
      • Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = 50° + 30° = 80°.
      • Сумма углов трапеции: 100+100+100+80 = 380. Неверно.
    • Вернемся к условию:
      • Угол ВСА = 30°.
      • Угол САВ = 50°.
      • Треугольник АВС: Угол АВС = 180° - (30° + 50°) = 100°.
      • Так как трапеция равнобедренная, то угол BCD = угол ABC = 100°.
      • Угол ADC: У нас есть угол BCD = 100°. Диагональ АС делит его на два угла: угол ACD и угол ACB.
      • Угол ACB = 30° (дано).
      • Угол ACD: В равнобедренной трапеции диагонали равны, AC = BD.
      • Рассмотрим треугольник BCD. Угол CBD = Угол CAD = 50°.
      • Угол BDC = 50°.
      • Угол BCD = 100°.
      • В треугольнике BCD: 50° + 50° + 100° = 200°. Это неверно.
    • Давай еще раз.
      • Угол ВСА = 30°.
      • Угол САВ = 50°.
      • Угол ABC (в треугольнике ABC) = 180° - (30° + 50°) = 100°.
      • Трапеция равнобедренная, значит, углы при одном основании равны.
      • Угол ADC + Угол DCB = 180° (как односторонние углы при параллельных AD и BC и секущей CD).
      • Угол BAD + Угол ABC = 180°.
      • Угол ABC = 100°.
      • Угол BAD = 180° - 100° = 80°.
      • Теперь найдем углы, которые образует диагональ АС.
        • Угол ВАС = 50°.
        • Угол ВСА = 30°.
        • Угол САD = Угол BAD - Угол ВАС = 80° - 50° = 30°.
        • Угол АСD = Угол BCD - Угол BCA.
        • Угол BCD = 180° - Угол BAD = 180° - 80° = 100°.
        • Угол ACD = 100° - 30° = 70°.
      • Теперь рассмотрим треугольник ADC.
        • Угол DAC = 30°.
        • Угол ACD = 70°.
        • Угол ADC = 180° - (30° + 70°) = 180° - 100° = 80°.

    Ответ: 80°