17. Найдите значение выражения: ... \( \frac{1}{2} + \left( 5 \frac{1}{6} - 3 \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \right) \cdot \frac{10}{23} \)

Решение:

\( \frac{1}{2} + \left( 5 \frac{1}{6} - 3 \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \right) \cdot \frac{10}{23} \)

1. Сначала выполним действия в скобках: \( 5 \frac{1}{6} - 3 \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \).
2. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 5 \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{31}{6} \)
• \( 3 \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4} \)
3. Приведём дроби к общему знаменателю 12:
• \( \frac{31}{6} = \frac{31 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{62}{12} \)
• \( \frac{15}{4} = \frac{15 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{45}{12} \)
• \( \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} \)
4. Выполним вычитание и сложение в скобках: \( \frac{62}{12} - \frac{45}{12} + \frac{6}{12} = \frac{62 - 45 + 6}{12} = \frac{17 + 6}{12} = \frac{23}{12} \).
5. Теперь выполним умножение: \( \frac{23}{12} \cdot \frac{10}{23} \).
6. Сократим 23: \( \frac{\cancel{23}}{12} \cdot \frac{10}{\cancel{23}} = \frac{10}{12} \).
7. Сократим дробь: \( \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \).
8. Теперь выполним сложение: \( \frac{1}{2} + \frac{5}{6} \).
9. Приведём \( \frac{1}{2} \) к знаменателю 6: \( \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} \).
10. Вычислим: \( \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} \).
11. Сократим дробь: \( \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \).
12. Переведём в смешанное число: \( \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} \).

Ответ: \( 1 \frac{1}{3} \).