17. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 4√2, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( a = 18 \) и \( b = 12 \). Боковая сторона \( c = 4\sqrt{2} \). Угол между боковой стороной и основанием \( \alpha = 135^{\circ} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} h \), где \( h \) — высота трапеции.

Из рисунка видно, что угол \( 135^{\circ} \) является тупым. Опустим высоту \( h \) из вершины тупого угла на большее основание. Внешний угол при этой вершине будет \( 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), боковой стороной \( c \) и отрезком большего основания. В этом треугольнике:

• Гипотенуза = \( c = 4\sqrt{2} \)
• Один из острых углов = \( 45^{\circ} \)

Найдем высоту \( h \):

\( h = c \sin(45^{\circ}) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} = 4 \).

Теперь можем найти площадь трапеции:

\( S = \frac{18+12}{2} \cdot 4 = \frac{30}{2} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60 \).

Ответ: 60.