15. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Площадь \( S = 32\sqrt{3} \). Один из острых углов, например \( \angle A = 30^{\circ} \).

Известно, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).

Также, из свойства прямоугольного треугольника, катеты связаны с гипотенузой и острым углом:

• \( a = c \sin A \)
• \( b = c \cos A \)

Подставляем это в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2} (c \sin A) (c \cos A) = \frac{1}{2} c^2 \sin A \cos A \)

Используем формулу двойного угла \( \sin(2A) = 2 \sin A \cos A \), откуда \( \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin(2A) \).

Тогда формула площади примет вид:

\( S = \frac{1}{2} c^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(2A) = \frac{1}{4} c^2 \sin(2A) \)

Теперь подставим известные значения: \( S = 32\sqrt{3} \) и \( A = 30^{\circ} \).

\( 2A = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( 32\sqrt{3} = \frac{1}{4} c^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Упростим уравнение:

\( 32\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 \)

Разделим обе стороны на \( \sqrt{3} \):

\( 32 = \frac{1}{8} c^2 \)

Умножим обе стороны на 8:

\( c^2 = 32 \cdot 8 = 256 \)

Извлечём квадратный корень:

\( c = \sqrt{256} = 16 \)

Ответ: 16.