15. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

1. Пусть катеты равны a и b, гипотенуза c. Площадь S = (1/2)ab = 32√3. Угол равен 30°, значит, другой острый угол равен 60°.

2. Катеты связаны соотношением: a = c sin(30°) = c/2, b = c cos(30°) = c√3/2.

3. Подставляем в формулу площади: (1/2)(c/2)(c√3/2) = 32√3. Решаем уравнение: c²√3/8 = 32√3, c² = 256, c = 16.