17. Основания трапеции равны 7 и 56, одна из боковых сторон равна 21, а косинус угла между ней и одним из оснований равен \(\frac{2\sqrt{6}}{7}\). Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где основания AB = 7 и CD = 56. Боковая сторона BC = 21. Косинус угла между BC и CD равен \(\cos(\angle BCD) = \frac{2\sqrt{6}}{7}\).

Из условия следует, что \(\cos(\angle BCD) > 0\), значит, угол \(\angle BCD\) острый. Опустим высоту BH из вершины B на основание CD. В прямоугольном треугольнике BHC:

\( BH = BC \cdot \sin(\angle BCD) \)

\( HC = BC \cdot \cos(\angle BCD) = 21 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 3 \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{6}\)

Найдем \( \sin(\angle BCD) \) по основному тригонометрическому тождеству:

\( \sin^2(\angle BCD) + \cos^2(\angle BCD) = 1 \)

\( \sin^2(\angle BCD) = 1 - (\frac{2\sqrt{6}}{7})^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{49} = 1 - \frac{24}{49} = \frac{49 - 24}{49} = \frac{25}{49} \)

\( \sin(\angle BCD) = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{5}{7} \) (так как угол острый, синус положителен).

Теперь найдем высоту BH:

\( BH = 21 \cdot \frac{5}{7} = 3 \cdot 5 = 15 \)

Площадь трапеции находится по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)

\( S = \frac{7 + 56}{2} \cdot 15 = \frac{63}{2} \cdot 15 = \frac{945}{2} = 472.5 \)

Ответ: 472.5.