17. Постройте график функции y = (5x-6)/(5x² - 6x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Упростим функцию:

• y = (5x - 6) / (5x² - 6x)
• Вынесем общий множитель x из знаменателя:
• y = (5x - 6) / (x(5x - 6))

2. Определим область допустимых значений (ОДЗ):

Знаменатель не должен быть равен нулю:

• x(5x - 6) ≠ 0
• Следовательно, x ≠ 0 и 5x - 6 ≠ 0, что означает x ≠ 6/5.

3. Сократим дробь:

При условии, что x ≠ 6/5, мы можем сократить (5x - 6):

• y = 1/x

Таким образом, график нашей функции — это гипербола y = 1/x, но с двумя «выколотыми» точками: при x = 0 (где функция не определена) и при x = 6/5 (где произошла отмена неопределенности).

4. Найдем координаты выколотых точек:

• При x = 0, функция не определена, это асимптота.
• При x = 6/5, подставим это значение в упрощенную функцию y = 1/x:
• y = 1 / (6/5) = 5/6.
• Итак, одна выколотая точка имеет координаты (6/5, 5/6).

5. Определим, при каких значениях k прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком y = 1/x (с учетом выколотой точки).

Прямая y = kx проходит через начало координат (0,0). График y = 1/x — это гипербола, расположенная в I и III квадрантах.

Случай 1: Прямая проходит через начало координат и одну из ветвей гиперболы.

Нам нужно, чтобы прямая y = kx пересекла график y = 1/x ровно один раз. Это произойдет, если прямая пройдет через выколотую точку (6/5, 5/6).

• Подставим координаты выколотой точки в уравнение прямой:
• 5/6 = k * (6/5)
• k = (5/6) / (6/5) = (5/6) * (5/6) = 25/36

В этом случае прямая y = (25/36)x пересечет гиперболу y = 1/x в точке (6/5, 5/6). Поскольку эта точка выколота на исходной функции, прямое пересечение с ней не учитывается. Однако, прямая y = kx проходит через (0,0), а гипербола y=1/x имеет асимптоту x=0. Из-за того, что точка (0,0) не является частью графика y=1/x, при k=25/36, прямая y=kx пересечет график y=1/x только в одной точке (той, что мы нашли, где x=6/5), так как она будет проходить через эту выколотую точку.

Случай 2: Прямая является касательной к одной из ветвей гиперболы, но при этом не проходит через выколотую точку.

Прямая y = kx проходит через начало координат. Чтобы она имела ровно одну общую точку с гиперболой y = 1/x (вне выколотой точки), она должна либо пересекать одну ветвь, либо быть касательной. Так как прямая через начало координат, она не может быть касательной к y=1/x, потому что касательная к y=1/x имела бы другой вид. Она либо пересечет одну из ветвей, либо пройдет через выколотую точку.

Анализ:

Прямая y = kx проходит через начало координат (0,0). График функции y = 1/x (с выколотой точкой (6/5, 5/6)) состоит из двух ветвей в I и III квадрантах. Прямая, проходящая через начало координат, пересечет каждую из ветвей y = 1/x ровно в одной точке (если k>0, пересекает ветвь в I квадранте, если k<0, пересекает ветвь в III квадранте). Исключением является случай, когда прямая проходит через выколотую точку. В этом случае, точка (6/5, 5/6) — это единственное место пересечения, т.к. (0,0) не входит в область определения.

Таким образом, единственное значение k, при котором прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком исходной функции, это то значение k, при котором прямая проходит через выколотую точку (6/5, 5/6).

k = 25/36.

Ответ: k = 25/36