17. Постройте график функции $y=\frac12\left(\left|\frac{5,5}{x}-\frac{x}{5,5}\right|-\frac{x}{5,5}-\frac{5,5}{x}\right)$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 17. Постройте график функции $y=\frac12\left(\left|\frac{5,5}{x}-\frac{x}{5,5}\right|-\frac{x}{5,5}-\frac{5,5}{x}\right)$ и…$ Фото задания

17. Постройте график функции $y=\frac12\left(\left|\frac{5,5}{x}-\frac{x}{5,5}\right|-\frac{x}{5,5}-\frac{5,5}{x}\right)$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Положим $t=\frac{x}{5,5}$, тогда $x\ne0$, а функция принимает вид $y=\frac12\left(\left|\frac1t-t\right|-t-\frac1t\right)$.

Раскрывая модуль, получаем:

при $0<x\le5,5$: $y=\frac{5,5}{x}-\frac{x}{5,5}$;
при $x\ge5,5$: $y=-\frac{x}{5,5}$;
при $-5,5\le x<0$: $y=-\frac{5,5}{x}$;
при $x\le-5,5$: $y=-\frac{x}{5,5}$.

Для прямой $y=m$:

при $m<0$ есть ровно одно пересечение с ветвью $y=-\frac{x}{5,5}$, где $x>5,5$;
при $0<m<1$ есть ровно одно пересечение с ветвью $y=\frac{5,5}{x}-\frac{x}{5,5}$, где $0<x<5,5$;
при $m=1$ — две точки пересечения;
при $m>1$ — три точки пересечения;
при $m=0$ пересечений нет.

График состоит из указанных четырёх ветвей; точки $(5,5;-1)$ и $(-5,5;1)$ принадлежат графику.

Ответ: $m\in(-\infty;0)\cup(0;1)$.