19. В треугольнике SPT с тупым углом STP проведены высоты SS₁ и PP₁. Докажите, что треугольники S₁P₁T и SPT подобны.

Так как \(SS_1\) — высота, то \(SS_1\perp PT\). Так как \(PP_1\) — высота, то \(PP_1\perp ST\).

1. Точки \(S_1\) и \(P\) лежат на одной прямой, а точки \(P_1\) и \(S\) — на одной прямой. Поэтому угол при вершине \(T\) общий:
   \[\angle S_1TP_1=\angle STP.\]
2. Угол \(TS_1P_1\) равен углу \(SPT\), поскольку его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла \(SPT\): \(S_1T\subset PT\), а \(S_1P_1\) образует с \(PT\) угол, равный углу между \(PS\) и \(PT\).

Таким образом, два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника:

\[\angle S_1TP_1=\angle STP,\qquad \angle TS_1P_1=\angle SPT.\]

Следовательно, по двум углам

\[\triangle S_1P_1T\sim\triangle PST.\]

Что и требовалось доказать.