17. Постройте график функции $y=\frac12\left(\left|\frac{x}{1.5}-\frac{1.5}{x}\right|+\frac{x}{1.5}+\frac{1.5}{x}\right)$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 17. Постройте график функции $y=\frac12\left(\left|\frac{x}{1.5}-\frac{1.5}{x}\right|+\frac{x}{1.5}+\frac{1.5}{x}\right)$ и…$ Фото задания

17. Постройте график функции $y=\frac12\left(\left|\frac{x}{1.5}-\frac{1.5}{x}\right|+\frac{x}{1.5}+\frac{1.5}{x}\right)$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Область определения: $x\ne0$. Используем равенство $\frac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$, где $a=\frac{x}{1.5}$, $b=\frac{1.5}{x}$.

Приравняем выражения внутри максимума: $\frac{x}{1.5}=\frac{1.5}{x}$, откуда $x^2=2.25$, поэтому $x=\pm1.5$.

Следовательно, функция задаётся так:

\[y=\begin{cases}\frac{1.5}{x},&x\le-1.5,\\[2pt]\frac{2x}{3},&-1.5\le x<0,\\[2pt]\frac{1.5}{x},&0<x\le1.5,\\[2pt]\frac{2x}{3},&x\ge1.5.\end{cases}\]

На отрицательной части графика значения функции принадлежат промежутку $[-1,0)$. При $m=-1$ прямая касается графика в единственной точке $(-1.5,-1)$.

На положительной части значения функции принадлежат промежутку $[1,+\infty)$. При $m=1$ прямая касается графика в единственной точке $(1.5,1)$. Для остальных значений из этого промежутка прямая пересекает график в двух точках.

Ответ: $m=-1$ и $m=1$.