19. В треугольнике END с тупым углом EDN проведены высоты EE₁ и NN₁. Докажите, что треугольники E₁N₁D и END подобны.

Так как \(EE_1\) и \(NN_1\) — высоты, то

\[EE_1\perp DN,\qquad NN_1\perp DE.\]

Следовательно, углы при основаниях высот прямые:

\[\angle DE_1N_1=90^\circ,\qquad \angle D N_1E_1=90^\circ.\]

Точки \(E_1\) и \(N\) лежат на одной прямой, а точки \(N_1\) и \(E\) — на другой. Поэтому угол при вершине \(D\) общий по величине:

\[\angle E_1DN_1=\angle EDN.\]

Таким образом, у треугольников \(E_1N_1D\) и \(END\) имеются две пары равных углов: прямые углы и углы при вершине \(D\). Следовательно, треугольники подобны по двум углам:

\[\triangle E_1N_1D\sim\triangle END.\]