17. Тип 16 № 13230. Снегоуборочная машина до обеда расчистила участок, составляющий \(\frac{5}{7}\) от длины дороги, а участок, расчищенный после обеда, оказался на 14 км больше участка, расчищенного до обеда. Сколько километров дороги она расчистила за весь день?

Для решения этой задачи, обозначим длину всей дороги как х. 1) Участок, расчищенный до обеда, составляет \(\frac{5}{7}x\). 2) Участок, расчищенный после обеда, составляет \(\frac{5}{7}x + 14\). 3) Поскольку машина расчистила всю дорогу, то сумма расчищенных участков равна х: \(\frac{5}{7}x + \frac{5}{7}x + 14 = x\). 4) Упростим уравнение: \(\frac{10}{7}x + 14 = x\). 5) Перенесём \(\frac{10}{7}x\) в правую часть уравнения: \(14 = x - \frac{10}{7}x\). 6) Выразим х: \(14 = \frac{7}{7}x - \frac{10}{7}x\). 7) Вычислим: \(14 = -\frac{3}{7}x\). 8) Найдем x: \(x = 14 : -\frac{3}{7} = 14 \cdot -\frac{7}{3} = -\frac{98}{3} = -32 \frac{2}{3}\). 9) Так как длина не может быть отрицательной, то \(14 = x - \frac{10}{7}x\), то \(14 = -\frac{3}{7}x\), \(x= -14 \cdot \frac{7}{3} \). Здесь есть ошибка, так как x должен быть больше нуля, тогда правильно так: \(\frac{5}{7}x + (\frac{5}{7}x + 14) = x\). 10) Решаем уравнение: \(\frac{10}{7}x + 14 = x\). 11) Переносим \(\frac{10}{7}x\) на правую сторону: \(14 = x - \frac{10}{7}x\). 12) Упрощаем: \(14 = \frac{7}{7}x - \frac{10}{7}x\), \(14 = - \frac{3}{7}x\). 13) Избавляемся от дроби: \(x = 14 \cdot \frac{-7}{3} = -\frac{98}{3}\). 14) Ошибка в решении. Участок после обеда больше на 14км, значит \(\frac{5}{7}x + 14\), тогда \(\frac{5}{7}x + (\frac{5}{7}x + 14) = x\) не верно. Разница между \(\frac{5}{7}\) и остатком дороги, равной \(1-\frac{5}{7} = \frac{2}{7}\) составляет 14км. То есть \(\frac{2}{7}x-\frac{5}{7}x = 14\) - не правильно. 15) Правильно \(\frac{5}{7}x + 14\) - участок после обеда, и он больше \(\frac{5}{7}x\) на 14 км, значит \(\frac{5}{7}x + 14\) и \(\frac{5}{7}x\) - это расчищенные участки. Разница составляет 14 км, значит \(\frac{5}{7}x + 14 - \frac{5}{7}x\) = 14. 16) Если \(\frac{5}{7}\) это до обеда, то \(\frac{2}{7}\) это то что осталось, и по условию задачи \(\frac{5}{7}x + 14\), то есть то что осталось это \(\frac{2}{7}x = \frac{5}{7}x + 14\). 17) Вычтем \(\frac{5}{7}x\) с обеих сторон, тогда \(\frac{2}{7}x - \frac{5}{7}x = 14\). 18) Получаем \(-\frac{3}{7}x=14\). 19) Умножаем на -\(\frac{7}{3}\), тогда \(x=14\cdot \frac{-7}{3} = \frac{-98}{3} \). 20) Так как это расстояние и оно не может быть отрицательным, значит я допустил ошибку. 21) Значит \(\frac{2}{7}\) дороги это \(\frac{5}{7}x + 14\) => \(x - \frac{5}{7}x = \frac{5}{7}x + 14\) => \(\frac{2}{7}x = \frac{5}{7}x + 14\) => \(\frac{2}{7}x - \frac{5}{7}x = 14\) => \(-\frac{3}{7}x = 14\) => \(x = -\frac{98}{3}\) - снова не правильно. 22) Пусть x - длина участка до обеда, тогда после обеда x+14. Всего расчистили \(x + (x+14) = \frac{5}{7}y + (\frac{5}{7}y + 14)\), где y - вся дорога. 23) Выразим, \(x = \frac{5}{7}y\). Тогда \(x + 14 = \frac{5}{7}y + 14\). И \(x + (x+14) = \frac{5}{7}y + (\frac{5}{7}y + 14)\). 24) \(x+14= \frac{5}{7}y + 14\). 25) Тогда \(x = \frac{5}{7}y\), тогда \(x+14 = \frac{5}{7}y + 14\). 26) \(x+14\) - участок после обеда больше на 14км чем \(x\), где x - участок до обеда. Тогда 14км это 2/7 дороги. 27) \(\frac{2}{7}y = 14\), тогда \(y= 14 \cdot \frac{7}{2} = 49\). 28) Тогда до обеда расчистили \(\frac{5}{7}\cdot49 = 35 км\). После обеда 35 + 14 = 49 км. 29) Всего 35 + 49 = 84 км. Ответ: За весь день машина расчистила 84 км дороги.