17. Тип 17 № 349387 Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 36° и 53° соответственно. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD, где AD || BC, AB = CD.

Дано: \( \angle CAD = 36^{\circ} \), \( \angle BAC = 53^{\circ} \).

Так как AD || BC, то \( \angle BCA = \angle CAD = 36^{\circ} \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

В треугольнике ABC:

\( \angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) \)

\[ \angle ABC = 180^{\circ} - (53^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 89^{\circ} = 91^{\circ} \]

Углы при основаниях трапеции равны. Так как трапеция равнобедренная, то \( \angle DAB = \angle CDA \) и \( \angle ABC = \angle BCD \).

\( \angle ABC = 91^{\circ} \). Значит, \( \angle BCD = 91^{\circ} \).

Углы при боковых сторонах трапеции в сумме дают 180° (прилежащие к одной боковой стороне).

\( \angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ} \) и \( \angle CDA + \angle BCD = 180^{\circ} \).

\( \angle DAB = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 91^{\circ} = 89^{\circ} \).

\( \angle CDA = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 91^{\circ} = 89^{\circ} \).

Больший угол трапеции — это углы при меньшем основании BC, то есть \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \).

Ответ: 91