17. Упростите числовое выражение $$(4-2\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}}-(2+\sqrt{5})\sqrt{9-4\sqrt{5}}$$.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем первое слагаемое: \((4-2\sqrt{3})\sqrt{7+4\sqrt{3}}\).
• Выделим полный квадрат под корнем: \(7+4\sqrt{3} = 7+2\sqrt{12}\).
• Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно 12. Это числа 3 и 4.
• Таким образом, \(7+4\sqrt{3} = 4+2\sqrt{12}+3 = (2+\sqrt{3})^2\).
• Тогда \(\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}\).
• Первое слагаемое становится: \((4-2\sqrt{3})(2+\sqrt{3})\).
• Раскрываем скобки: \(4 \cdot 2 + 4 \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \cdot 2 - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 2\cdot 3 = 8 - 6 = 2\).
2. Шаг 2: Упрощаем второе слагаемое: \((2+\sqrt{5})\sqrt{9-4\sqrt{5}}\).
• Выделим полный квадрат под корнем: \(9-4\sqrt{5} = 9-2\sqrt{20}\).
• Ищем два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 20. Это числа 4 и 5.
• Таким образом, \(9-4\sqrt{5} = 5-2\sqrt{20}+4 = (\sqrt{5}-2)^2\).
• Тогда \(\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2|\).
• Так как \(\sqrt{5} > 2\), то \(|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2\).
• Второе слагаемое становится: \((2+\sqrt{5})(\sqrt{5}-2)\).
• Замечаем, что это разность квадратов \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\), где \(a=\sqrt{5}\) и \(b=2\).
• Раскрываем скобки: \((\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1\).
3. Шаг 3: Вычисляем итоговое значение, вычитая второе слагаемое из первого: \(2 - 1 = 1\).

Ответ: 1