17. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 111°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим \(AB=a\). Тогда \(AC=2a\), а \(CD=AB=a\).

Рассмотрим треугольник ACD. По теореме косинусов:

\(AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cos111^\circ\),

\(AD^2=4a^2+a^2-4a^2\cos111^\circ= a^2(5-4\cos111^\circ)\).

Для диагоналей параллелограмма используем векторы: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\).

После вычисления их скалярного произведения и длин получаем:

\(\cos\varphi=\sqrt{\dfrac{1-\cos111^\circ}{2}}=\sin55.5^\circ=\cos34.5^\circ\).

Следовательно, угол между диагоналями равен \(\varphi=34.5^\circ\).

Ответ: 34,5°.