17. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при большем основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

На рисунке изображена равнобедренная трапеция. Обозначим основания как \( a \) (меньшее) и \( b \) (большее), высоту как \( h \), а угол при большем основании как \( \alpha \).

1. Дано: \( a = 5 \), \( h = 5 \), \( \alpha = 45^{\circ} \).
2. Найти: \( b \).
3. Проведем высоту из вершины угла, прилежащего к меньшему основанию, к большему основанию. В равнобедренной трапеции эти высоты отсекают от большего основания два равных отрезка.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком большего основания. В этом треугольнике угол при основании равен \( 45^{\circ} \), а противолежащий этому углу катет (высота) равен 5.
5. Так как один из острых углов равен \( 45^{\circ} \), то второй острый угол также равен \( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Следовательно, этот прямоугольный треугольник является равнобедренным.
6. Катеты этого треугольника равны. Значит, отрезок большего основания равен высоте: \( x = h = 5 \).
7. Теперь найдём большее основание \( b \). Оно состоит из меньшего основания \( a \) и двух таких отрезков \( x \):
   \( b = a + 2x = 5 + 2 \cdot 5 = 5 + 10 = 15 \).

Ответ: 15.