17. Высота равнобедренной трапеции, проведенной из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 3 и 11. Найдите длину основания BC.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD — большее основание, BC — меньшее основание, \( CH \) — высота, проведённая из вершины C на основание AD.

По условию, высота CH делит основание AD на два отрезка. Так как трапеция равнобедренная, то отрезок HD будет равен меньшему основанию BC, а отрезок AH будет равен HD. Следовательно, отрезок HD имеет длину \( \frac{AD - BC}{2} \).

По условию, основание AD делится высотой на отрезки длиной 3 и 11. Сумма этих отрезков равна основанию AD, то есть \( AD = 3 + 11 = 14 \).

В равнобедренной трапеции основания, на которые делится большее основание высотой, равны \( x \) и \( AD - x \), где \( x \) — длина меньшего основания.

В данном случае, отрезки равны 3 и 11. Так как трапеция равнобедренная, то отрезок, прилежащий к вершине D, равен \( HD = \frac{AD-BC}{2} \) и отрезок, прилежащий к вершине A, равен \( AH = \frac{AD-BC}{2} \).

Таким образом, один из отрезков равен \( 3 \) (это AH), а другой равен \( 11 \) (это HD). Но в равнобедренной трапеции отрезки \( AH \) и \( HD \) должны быть равны, что не так.

Примем, что основание AD делится на отрезки, один из которых равен 3, а другой 11. Если высота проведена из вершины C, то она падает на основание AD. В равнобедренной трапеции, если провести высоту CH (H на AD) и высоту BK (K на AD), то AH = KD. Отрезок HK равен меньшему основанию BC.

Если высота проведена из вершины C, то она падает на основание AD. В равнобедренной трапеции, если провести высоту CH (H на AD), то отрезок HD будет равен \( \frac{AD-BC}{2} \), а отрезок AH будет равен \( \frac{AD+BC}{2} \) (это неверно).

Правильно: Пусть H - точка на AD, такая что CH перпендикулярно AD. Тогда в равнобедренной трапеции \( AH = \frac{|AD-BC|}{2} \) и \( HD = \frac{|AD-BC|}{2} \). Значит, отрезок HK, где K - проекция B на AD, равен BC.

В данном случае, высота проведена из вершины C. Отрезок HD = 3, а отрезок AH = 11. Это противоречит свойству равнобедренной трапеции, где отрезки, отсекаемые высотами от меньшего основания на большем, равны.

Рассмотрим другой вариант: основание AD делится на отрезки 3 и 11. Предположим, что высота опущена из вершины C на основание AD, и точка падения H делит AD так, что AH = 3 и HD = 11. Тогда AD = AH + HD = 3 + 11 = 14.

В равнобедренной трапеции, если из вершины C опустить высоту CH на AD, то отрезок HD равен \( \frac{AD - BC}{2} \).

Если принять, что точка H делит AD на отрезки 3 и 11, то эти отрезки либо AH и HD, либо BH' и H'D (где H' - проекция B).

В равнобедренной трапеции, если опустить высоту из C на AD, то образуется прямоугольный треугольник CHD. Катет HD = \( \frac{AD - BC}{2} \).

Если принять, что один отрезок равен 3, а другой 11, и они составляют основание AD, то AD = 14.

Если отрезок, прилежащий к острому углу при основании, равен 3, а весь отрезок равен 11, то есть \( AH=3 \) и \( HD=11 \) (что не может быть в равнобедренной трапеции), или \( AH=11 \) и \( HD=3 \).

В случае, когда \( HD=3 \), то \( BC = AD - 2 \times HD = 14 - 2 \times 3 = 14 - 6 = 8 \).

Если же \( AH=3 \) и \( HD = 11 \), это может означать, что \( AH = \frac{AD-BC}{2} \) и \( HK = BC \), где K - проекция B на AD. Если \( AH = 3 \), то \( HD = AD - AH = 14 - 3 = 11 \). Это соответствует условию.

Тогда \( AH = \frac{AD-BC}{2} = 3 \).

\( AD - BC = 2 \times 3 = 6 \).

\( 14 - BC = 6 \).

\( BC = 14 - 6 = 8 \).

Ответ: 8.