17) Задумали трёхзначное число, которое делится на 35. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 63. Какое число было задумано?

Краткое пояснение:

Обозначим задуманное число как 100a + 10b + c, где a, b, c — цифры. Составим уравнения на основе условий задачи и решим их.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Задуманное число делится на 35. Это значит, что оно делится на 5 и на 7. Трехзначные числа, делящиеся на 35: 105, 140, 175, 210, 245, 280, 315, 350, 385, 420, 455, 490, 525, 560, 595, 630, 665, 700, 735, 770, 805, 840, 875, 910, 945, 980.
2. Шаг 2: Пусть задуманное число равно $$N = 100a + 10b + c$$. Число, полученное после перестановки цифр десятков и единиц, равно $$N' = 100a + 10c + b$$.
3. Шаг 3: По условию, $$N - N' = 63$$.
   $$(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 63$$
   $$100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 63$$
   $$9b - 9c = 63$$
   $$b - c = 7$$
4. Шаг 4: Теперь ищем среди чисел, делящихся на 35, такие, у которых разность цифр десятков (b) и единиц (c) равна 7.
   Возможные пары (b, c), где $$b - c = 7$$:
   (7, 0), (8, 1), (9, 2).
5. Шаг 5: Проверяем числа из списка, удовлетворяющие этим условиям:
   • Если (b, c) = (7, 0), то число имеет вид 100a + 70. Ищем в списке число вида X70. Это 140, 210, 280, 350, 420, 490, 560, 630, 700, 770, 840, 910, 980.
   Проверяем разность $$N - N'$$ для них:
   140: $$140 - 104 = 36$$ (не 63)
   210: $$210 - 201 = 9$$ (не 63)
   280: $$280 - 208 = 72$$ (не 63)
   350: $$350 - 305 = 45$$ (не 63)
   420: $$420 - 402 = 18$$ (не 63)
   490: $$490 - 409 = 81$$ (не 63)
   560: $$560 - 506 = 54$$ (не 63)
   630: $$630 - 603 = 27$$ (не 63)
   700: $$700 - 700 = 0$$ (не 63)
   770: $$770 - 707 = 63$$. Это наш вариант!
   • Если (b, c) = (8, 1), то число имеет вид 100a + 81. Ищем в списке число вида X81. Нет таких чисел.
   • Если (b, c) = (9, 2), то число имеет вид 100a + 92. Ищем в списке число вида X92. Нет таких чисел.
6. Шаг 6: Проверяем число 770. Оно делится на 35 (770 / 35 = 22).
   Переставляем цифры десятков и единиц: 707.
   Вычитаем: 770 - 707 = 63.
   Условие выполняется.

Ответ: 770