17. Задумано двузначное число, которое делится на 7. К нему справа приписали это же число ещё раз. Оказалось, что получившееся четырёхзначное число делится на 11. Какое число задумано?

Решение:

1. Обозначим двузначное число как 'x'.
2. Число, полученное приписыванием 'x' справа, можно представить как:\[ 100x + x = 101x \]
3. По условию, 'x' делится на 7. Значит, x = 7k, где k - целое число.
4. Четырёхзначное число 101x делится на 11.
5. Подставим x = 7k в выражение 101x:\[ 101 \cdot (7k) = 707k \]
6. Теперь проверим, какое значение 'k' сделает число 707k делимым на 11.
• Если k=1, число 707. 707 / 11 = 64.27 (не делится)
• Если k=2, число 1414. 1414 / 11 = 128.54 (не делится)
• Если k=3, число 2121. 2121 / 11 = 192.81 (не делится)
• Если k=4, число 2828. 2828 / 11 = 257.09 (не делится)
• Если k=5, число 3535. 3535 / 11 = 321.36 (не делится)
• Если k=6, число 4242. 4242 / 11 = 385.63 (не делится)
• Если k=7, число 4949. 4949 / 11 = 449.9 (не делится)
• Если k=8, число 5656. 5656 / 11 = 514.18 (не делится)
• Если k=9, число 6363. 6363 / 11 = 578.45 (не делится)
• Если k=10, число 7070. 7070 / 11 = 642.72 (не делится)
• Если k=11, число 7777. 7777 / 11 = 707 (делится!)
7. Таким образом, k = 11.
8. Найдем задуманное число 'x':\[ x = 7k = 7 \cdot 11 = 77 \]
9. Проверим: Двузначное число 77 делится на 7. Приписываем 77 справа, получаем 7777. 7777 делится на 11 (7777 / 11 = 707).

Ответ: 77