Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 171. Решите неравенства: 1) \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1}\); 2) \(\sqrt{x+3}<\sqrt{7-x}+\sqrt{10-x}\).Фото задания

Ответ:

  1. Область определения: \(x\ge1\). Прибавим \(\sqrt{x}\): требуется \(\sqrt{x+1}<\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\). При \(x\ge2\) это верно: после возведения в квадрат достаточно проверить \(2-x<2\sqrt{x(x-1)}\), что выполняется при \(x\ge2\). Для \(1\le x<2\) возведение в квадрат приводит к необходимому условию \(x^2>4\), которое не выполняется. При \(x=2\) исходное неравенство строгое и верно.
    Ответ: \([2;+\infty)\).
  2. Область определения: \(-3\le x\le7\). Если \(x\le\frac{14}{3}\), то \(3x-14\le0\), и неравенство после возведения суммы справа в квадрат выполняется автоматически. При \(x>\frac{14}{3}\) обе стороны сравнения \(3x-14<2\sqrt{(7-x)(10-x)}\) положительны; возводим в квадрат и получаем \(5x^2-16x-84<0\), то есть \((x+\frac{14}{5})(x-6)<0\). С учётом области определения получаем
    Ответ: \([-3;6)\).