175. Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена, является арифметической прогрессией: 1) \(a_n=3-4n\); 2) \(a_n=-5+2n\); 3) \(a_n=3(n+1)\); 4) \(a_n=2(3-n)\).

Последовательность является арифметической прогрессией, если разность соседних членов постоянна. Вычислим \(a_{n+1}-a_n\) в каждом случае.

1. \(a_{n+1}=3-4(n+1)=-1-4n\). Тогда \(a_{n+1}-a_n=(-1-4n)-(3-4n)=-4\). Разность постоянна, значит, последовательность арифметическая; \(d=-4\).
2. \(a_{n+1}=-5+2(n+1)=-3+2n\). Тогда \(a_{n+1}-a_n=(-3+2n)-(-5+2n)=2\). Разность постоянна, значит, последовательность арифметическая; \(d=2\).
3. \(a_{n+1}=3(n+2)=3n+6\), а \(a_n=3n+3\). Поэтому \(a_{n+1}-a_n=(3n+6)-(3n+3)=3\). Разность постоянна, значит, последовательность арифметическая; \(d=3\).
4. \(a_{n+1}=2(3-(n+1))=4-2n\), а \(a_n=6-2n\). Поэтому \(a_{n+1}-a_n=(4-2n)-(6-2n)=-2\). Разность постоянна, значит, последовательность арифметическая; \(d=-2\).