176. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

Пусть ABCD — параллелограмм, его диагонали AC и BD равны и перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения через O.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC и BO = OD.
2. Так как AC = BD, их половины равны: AO = BO.
3. Диагонали перпендикулярны, значит, угол AOB прямой. Треугольник AOB — равнобедренный прямоугольный, поэтому его острые углы равны 45°.
4. Аналогично соседние углы параллелограмма составлены из двух углов по 45° и равны 90°. Значит, ABCD — прямоугольник.
5. В прямоугольнике равенство диагоналей вместе с перпендикулярностью диагоналей также даёт равенство соседних сторон: из прямоугольных треугольников с катетами, равными половинам диагоналей, следует AB = BC. Следовательно, прямоугольник является квадратом.

Что и требовалось доказать.