177. a) \(\frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1}\)

Решение:

Представим знаменатель как сумму кубов: \( 8p^3 + 1 = (2p)^3 + 1^3 \). Используем формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \).

В данном случае \( a = 2p \) и \( b = 1 \). Значит, \( 8p^3 + 1 = (2p+1)((2p)^2 - 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p+1)(4p^2 - 2p + 1) \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1} = \frac{4p^2 - 2p + 1}{(2p+1)(4p^2 - 2p + 1)} \)

Сокращаем общий множитель \( 4p^2 - 2p + 1 \).

\( \frac{1}{2p+1} \)

Ответ: \( \frac{1}{2p+1} \)